\(\int \frac {(A+C \cos ^2(c+d x)) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx\) [592]

Optimal result

Integrand size = 33, antiderivative size = 522 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {\left (20 A b^9-a^2 b^7 (69 A-2 C)-8 a^6 b^3 (5 A-C)+7 a^4 b^5 (12 A-C)-8 a^8 b C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^6 \sqrt {a-b} \sqrt {a+b} \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (20 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^6 d}+\frac {b \left (60 A b^6-a^6 (24 A-26 C)+a^4 b^2 (146 A-17 C)-a^2 b^4 (167 A-6 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {\left (10 A b^6-a^6 (A-6 C)+a^4 b^2 (23 A-2 C)-a^2 b^4 (27 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (5 A b^4-4 a^4 C-a^2 b^2 (10 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (20 A b^6-a^2 b^4 (53 A-2 C)+12 a^6 C+a^4 b^2 (48 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

1/2*(20*A*b^2+a^2*(A+2*C))*arctanh(sin(d*x+c))/a^6/d+(20*A*b^9-a^2*b^7*(69*A-2*C)-8*a^6*b^3*(5*A-C)+7*a^4*b^5*
(12*A-C)-8*a^8*b*C)*arctan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/a^6/(a^2-b^2)^3/d/(a-b)^(1/2)/(a+b)^(1/
2)+1/6*b*(60*A*b^6-a^6*(24*A-26*C)+a^4*b^2*(146*A-17*C)-a^2*b^4*(167*A-6*C))*tan(d*x+c)/a^5/(a^2-b^2)^3/d-1/2*
(10*A*b^6-a^6*(A-6*C)+a^4*b^2*(23*A-2*C)-a^2*b^4*(27*A-C))*sec(d*x+c)*tan(d*x+c)/a^4/(a^2-b^2)^3/d+1/3*(A*b^2+
C*a^2)*sec(d*x+c)*tan(d*x+c)/a/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^3-1/6*(5*A*b^4-4*a^4*C-a^2*b^2*(10*A+C))*sec(d*x+c
)*tan(d*x+c)/a^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*cos(d*x+c))^2+1/6*(20*A*b^6-a^2*b^4*(53*A-2*C)+12*a^6*C+a^4*b^2*(48*A+C))*
sec(d*x+c)*tan(d*x+c)/a^3/(a^2-b^2)^3/d/(a+b*cos(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 2.82 (sec) , antiderivative size = 522, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 9, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.182, Rules used = {3135, 3134, 3080, 3855, 2738, 211} \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {\left (a^2 C+A b^2\right ) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{3 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\left (a^2 (A+2 C)+20 A b^2\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^6 d}-\frac {\left (-4 a^4 C-a^2 b^2 (10 A+C)+5 A b^4\right ) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{6 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (-\left (a^6 (A-6 C)\right )+a^4 b^2 (23 A-2 C)-a^2 b^4 (27 A-C)+10 A b^6\right ) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{2 a^4 d \left (a^2-b^2\right )^3}+\frac {\left (-8 a^8 b C-8 a^6 b^3 (5 A-C)+7 a^4 b^5 (12 A-C)-a^2 b^7 (69 A-2 C)+20 A b^9\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^6 d \sqrt {a-b} \sqrt {a+b} \left (a^2-b^2\right )^3}+\frac {b \left (-\left (a^6 (24 A-26 C)\right )+a^4 b^2 (146 A-17 C)-a^2 b^4 (167 A-6 C)+60 A b^6\right ) \tan (c+d x)}{6 a^5 d \left (a^2-b^2\right )^3}+\frac {\left (12 a^6 C+a^4 b^2 (48 A+C)-a^2 b^4 (53 A-2 C)+20 A b^6\right ) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{6 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))} \]

[In]

Int[((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

((20*A*b^9 - a^2*b^7*(69*A - 2*C) - 8*a^6*b^3*(5*A - C) + 7*a^4*b^5*(12*A - C) - 8*a^8*b*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b
]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^6*Sqrt[a - b]*Sqrt[a + b]*(a^2 - b^2)^3*d) + ((20*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*
ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(2*a^6*d) + (b*(60*A*b^6 - a^6*(24*A - 26*C) + a^4*b^2*(146*A - 17*C) - a^2*b^4*(167*A
- 6*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^5*(a^2 - b^2)^3*d) - ((10*A*b^6 - a^6*(A - 6*C) + a^4*b^2*(23*A - 2*C) - a^2*b^4*(2
7*A - C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(3*
a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - ((5*A*b^4 - 4*a^4*C - a^2*b^2*(10*A + C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])
/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((20*A*b^6 - a^2*b^4*(53*A - 2*C) + 12*a^6*C + a^4*b^2*(48*A
+ C))*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3080

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] + Dist[(B*c - A
*d)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 3134

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + D
ist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*
(b*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(
b*c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n]
&&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3135

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 + a^2*C))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c
+ d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)),
Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*(m + 1)*(b*c - a*d)*(A + C) + d*(A*b^2 + a^2*C
)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 + a^2*C) + b*(m + 1)*(b*c - a*d)*(A + C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 + a^2*C)*(m + n +
3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2,
0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && L
tQ[n, -1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\int \frac {\left (-5 A b^2+a^2 (3 A-2 C)-3 a b (A+C) \cos (c+d x)+4 \left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx}{3 a \left (a^2-b^2\right )} \\ & = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (5 A b^4-4 a^4 C-a^2 b^2 (10 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\left (2 \left (10 A b^4+3 a^4 (A-2 C)-a^2 b^2 (18 A-C)\right )+2 a b \left (A b^2-a^2 (6 A+5 C)\right ) \cos (c+d x)-3 \left (5 A b^4-4 a^4 C-a^2 b^2 (10 A+C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (5 A b^4-4 a^4 C-a^2 b^2 (10 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (20 A b^6-a^2 b^4 (53 A-2 C)+12 a^6 C+a^4 b^2 (48 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (-6 \left (10 A b^6-a^6 (A-6 C)+a^4 b^2 (23 A-2 C)-a^2 b^4 (27 A-C)\right )-a b \left (5 A b^4-a^2 b^2 (8 A-5 C)+2 a^4 (9 A+5 C)\right ) \cos (c+d x)+2 \left (20 A b^6-a^2 b^4 (53 A-2 C)+12 a^6 C+a^4 b^2 (48 A+C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {\left (10 A b^6-a^6 (A-6 C)+a^4 b^2 (23 A-2 C)-a^2 b^4 (27 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (5 A b^4-4 a^4 C-a^2 b^2 (10 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (20 A b^6-a^2 b^4 (53 A-2 C)+12 a^6 C+a^4 b^2 (48 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (2 \left (60 A b^7+a^4 b^3 (146 A-17 C)-a^2 b^5 (167 A-6 C)-a^6 (24 A b-26 b C)\right )+2 a \left (10 A b^6-a^2 b^4 (25 A-C)+3 a^6 (A+2 C)+a^4 b^2 (27 A+8 C)\right ) \cos (c+d x)-6 b \left (10 A b^6-a^6 (A-6 C)+a^4 b^2 (23 A-2 C)-a^2 b^4 (27 A-C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{12 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {b \left (60 A b^6-a^6 (24 A-26 C)+a^4 b^2 (146 A-17 C)-a^2 b^4 (167 A-6 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {\left (10 A b^6-a^6 (A-6 C)+a^4 b^2 (23 A-2 C)-a^2 b^4 (27 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (5 A b^4-4 a^4 C-a^2 b^2 (10 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (20 A b^6-a^2 b^4 (53 A-2 C)+12 a^6 C+a^4 b^2 (48 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (6 \left (a^2-b^2\right )^3 \left (20 A b^2+a^2 (A+2 C)\right )-6 a b \left (10 A b^6-a^6 (A-6 C)+a^4 b^2 (23 A-2 C)-a^2 b^4 (27 A-C)\right ) \cos (c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{12 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {b \left (60 A b^6-a^6 (24 A-26 C)+a^4 b^2 (146 A-17 C)-a^2 b^4 (167 A-6 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {\left (10 A b^6-a^6 (A-6 C)+a^4 b^2 (23 A-2 C)-a^2 b^4 (27 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (5 A b^4-4 a^4 C-a^2 b^2 (10 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (20 A b^6-a^2 b^4 (53 A-2 C)+12 a^6 C+a^4 b^2 (48 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (20 A b^9-a^2 b^7 (69 A-2 C)-8 a^6 b^3 (5 A-C)+7 a^4 b^5 (12 A-C)-8 a^8 b C\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^6 \left (a^2-b^2\right )^3}+\frac {\left (20 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) \int \sec (c+d x) \, dx}{2 a^6} \\ & = \frac {\left (20 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^6 d}+\frac {b \left (60 A b^6-a^6 (24 A-26 C)+a^4 b^2 (146 A-17 C)-a^2 b^4 (167 A-6 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {\left (10 A b^6-a^6 (A-6 C)+a^4 b^2 (23 A-2 C)-a^2 b^4 (27 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (5 A b^4-4 a^4 C-a^2 b^2 (10 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (20 A b^6-a^2 b^4 (53 A-2 C)+12 a^6 C+a^4 b^2 (48 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (20 A b^9-a^2 b^7 (69 A-2 C)-8 a^6 b^3 (5 A-C)+7 a^4 b^5 (12 A-C)-8 a^8 b C\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^6 \left (a^2-b^2\right )^3 d} \\ & = \frac {\left (20 A b^9-a^2 b^7 (69 A-2 C)-8 a^6 b^3 (5 A-C)+7 a^4 b^5 (12 A-C)-8 a^8 b C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^6 \sqrt {a-b} \sqrt {a+b} \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (20 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^6 d}+\frac {b \left (60 A b^6-a^6 (24 A-26 C)+a^4 b^2 (146 A-17 C)-a^2 b^4 (167 A-6 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {\left (10 A b^6-a^6 (A-6 C)+a^4 b^2 (23 A-2 C)-a^2 b^4 (27 A-C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (5 A b^4-4 a^4 C-a^2 b^2 (10 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (20 A b^6-a^2 b^4 (53 A-2 C)+12 a^6 C+a^4 b^2 (48 A+C)\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (warning: unable to verify)

Time = 8.12 (sec) , antiderivative size = 740, normalized size of antiderivative = 1.42 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {\left (C+A \sec ^2(c+d x)\right ) \left (\frac {96 b \left (20 A b^8+7 a^4 b^4 (12 A-C)-8 a^8 C+8 a^6 b^2 (-5 A+C)+a^2 b^6 (-69 A+2 C)\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right ) \cos ^2(c+d x)}{\left (-a^2+b^2\right )^{7/2}}-48 \left (20 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) \cos ^2(c+d x) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+48 \left (20 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) \cos ^2(c+d x) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+\frac {2 a \left (24 a^{10} A-324 a^8 A b^2+1116 a^6 A b^4-830 a^4 A b^6-61 a^2 A b^8+180 A b^{10}+144 a^8 b^2 C-50 a^6 b^4 C-7 a^4 b^6 C+18 a^2 b^8 C-6 a b \left (20 a^8 A-150 A b^8+3 a^6 b^2 (3 A-20 C)+5 a^2 b^6 (80 A-3 C)+3 a^4 b^4 (-103 A+15 C)\right ) \cos (c+d x)+12 b^2 \left (20 A b^8-3 a^8 (7 A-4 C)+a^6 b^2 (85 A-2 C)+a^2 b^6 (-19 A+2 C)-a^4 b^4 (55 A+2 C)\right ) \cos (2 (c+d x))-138 a^7 A b^3 \cos (3 (c+d x))+738 a^5 A b^5 \cos (3 (c+d x))-840 a^3 A b^7 \cos (3 (c+d x))+300 a A b^9 \cos (3 (c+d x))+120 a^7 b^3 C \cos (3 (c+d x))-90 a^5 b^5 C \cos (3 (c+d x))+30 a^3 b^7 C \cos (3 (c+d x))-24 a^6 A b^4 \cos (4 (c+d x))+146 a^4 A b^6 \cos (4 (c+d x))-167 a^2 A b^8 \cos (4 (c+d x))+60 A b^{10} \cos (4 (c+d x))+26 a^6 b^4 C \cos (4 (c+d x))-17 a^4 b^6 C \cos (4 (c+d x))+6 a^2 b^8 C \cos (4 (c+d x))\right ) \sin (c+d x)}{\left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))^3}\right )}{48 a^6 d (2 A+C+C \cos (2 (c+d x)))} \]

[In]

Integrate[((A + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^3)/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

((C + A*Sec[c + d*x]^2)*((96*b*(20*A*b^8 + 7*a^4*b^4*(12*A - C) - 8*a^8*C + 8*a^6*b^2*(-5*A + C) + a^2*b^6*(-6
9*A + 2*C))*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]*Cos[c + d*x]^2)/(-a^2 + b^2)^(7/2) - 48*(20*A
*b^2 + a^2*(A + 2*C))*Cos[c + d*x]^2*Log[Cos[(c + d*x)/2] - Sin[(c + d*x)/2]] + 48*(20*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*
Cos[c + d*x]^2*Log[Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2]] + (2*a*(24*a^10*A - 324*a^8*A*b^2 + 1116*a^6*A*b^4 - 8
30*a^4*A*b^6 - 61*a^2*A*b^8 + 180*A*b^10 + 144*a^8*b^2*C - 50*a^6*b^4*C - 7*a^4*b^6*C + 18*a^2*b^8*C - 6*a*b*(
20*a^8*A - 150*A*b^8 + 3*a^6*b^2*(3*A - 20*C) + 5*a^2*b^6*(80*A - 3*C) + 3*a^4*b^4*(-103*A + 15*C))*Cos[c + d*
x] + 12*b^2*(20*A*b^8 - 3*a^8*(7*A - 4*C) + a^6*b^2*(85*A - 2*C) + a^2*b^6*(-19*A + 2*C) - a^4*b^4*(55*A + 2*C
))*Cos[2*(c + d*x)] - 138*a^7*A*b^3*Cos[3*(c + d*x)] + 738*a^5*A*b^5*Cos[3*(c + d*x)] - 840*a^3*A*b^7*Cos[3*(c
+ d*x)] + 300*a*A*b^9*Cos[3*(c + d*x)] + 120*a^7*b^3*C*Cos[3*(c + d*x)] - 90*a^5*b^5*C*Cos[3*(c + d*x)] + 30*
a^3*b^7*C*Cos[3*(c + d*x)] - 24*a^6*A*b^4*Cos[4*(c + d*x)] + 146*a^4*A*b^6*Cos[4*(c + d*x)] - 167*a^2*A*b^8*Co
s[4*(c + d*x)] + 60*A*b^10*Cos[4*(c + d*x)] + 26*a^6*b^4*C*Cos[4*(c + d*x)] - 17*a^4*b^6*C*Cos[4*(c + d*x)] +
6*a^2*b^8*C*Cos[4*(c + d*x)])*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^3*(a + b*Cos[c + d*x])^3)))/(48*a^6*d*(2*A + C + C*Co
s[2*(c + d*x)]))

Maple [A] (verified)

Time = 6.39 (sec) , antiderivative size = 673, normalized size of antiderivative = 1.29

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {-\frac {2 b \left (\frac {-\frac {\left (30 A \,a^{4} b^{2}+6 A \,a^{3} b^{3}-34 A \,a^{2} b^{4}-3 A a \,b^{5}+12 A \,b^{6}+12 C \,a^{6}+4 C \,a^{5} b -6 C \,a^{4} b^{2}-C \,a^{3} b^{3}+2 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}-\frac {2 \left (45 A \,a^{4} b^{2}-53 A \,a^{2} b^{4}+18 A \,b^{6}+18 C \,a^{6}-11 C \,a^{4} b^{2}+3 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (30 A \,a^{4} b^{2}-6 A \,a^{3} b^{3}-34 A \,a^{2} b^{4}+3 A a \,b^{5}+12 A \,b^{6}+12 C \,a^{6}-4 C \,a^{5} b -6 C \,a^{4} b^{2}+C \,a^{3} b^{3}+2 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (40 A \,a^{6} b^{2}-84 A \,a^{4} b^{4}+69 A \,a^{2} b^{6}-20 A \,b^{8}+8 C \,a^{8}-8 C \,a^{6} b^{2}+7 C \,a^{4} b^{4}-2 C \,a^{2} b^{6}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{6}}+\frac {A}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )^{2}}+\frac {\left (-A \,a^{2}-20 A \,b^{2}-2 a^{2} C \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{2 a^{6}}+\frac {A \left (a +8 b \right )}{2 a^{5} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}-\frac {A}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )^{2}}+\frac {\left (A \,a^{2}+20 A \,b^{2}+2 a^{2} C \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{2 a^{6}}+\frac {A \left (a +8 b \right )}{2 a^{5} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}}{d}\)	\(673\)
default	\(\frac {-\frac {2 b \left (\frac {-\frac {\left (30 A \,a^{4} b^{2}+6 A \,a^{3} b^{3}-34 A \,a^{2} b^{4}-3 A a \,b^{5}+12 A \,b^{6}+12 C \,a^{6}+4 C \,a^{5} b -6 C \,a^{4} b^{2}-C \,a^{3} b^{3}+2 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}-\frac {2 \left (45 A \,a^{4} b^{2}-53 A \,a^{2} b^{4}+18 A \,b^{6}+18 C \,a^{6}-11 C \,a^{4} b^{2}+3 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (30 A \,a^{4} b^{2}-6 A \,a^{3} b^{3}-34 A \,a^{2} b^{4}+3 A a \,b^{5}+12 A \,b^{6}+12 C \,a^{6}-4 C \,a^{5} b -6 C \,a^{4} b^{2}+C \,a^{3} b^{3}+2 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (40 A \,a^{6} b^{2}-84 A \,a^{4} b^{4}+69 A \,a^{2} b^{6}-20 A \,b^{8}+8 C \,a^{8}-8 C \,a^{6} b^{2}+7 C \,a^{4} b^{4}-2 C \,a^{2} b^{6}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{6}}+\frac {A}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )^{2}}+\frac {\left (-A \,a^{2}-20 A \,b^{2}-2 a^{2} C \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{2 a^{6}}+\frac {A \left (a +8 b \right )}{2 a^{5} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}-\frac {A}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )^{2}}+\frac {\left (A \,a^{2}+20 A \,b^{2}+2 a^{2} C \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{2 a^{6}}+\frac {A \left (a +8 b \right )}{2 a^{5} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}}{d}\)	\(673\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(3033\)

[In]

int((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^3/(a+cos(d*x+c)*b)^4,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(-2*b/a^6*((-1/2*(30*A*a^4*b^2+6*A*a^3*b^3-34*A*a^2*b^4-3*A*a*b^5+12*A*b^6+12*C*a^6+4*C*a^5*b-6*C*a^4*b^2-
C*a^3*b^3+2*C*a^2*b^4)*a*b/(a-b)/(a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^5-2/3*(45*A*a^4*b^2-53*A*a^2*b^4
+18*A*b^6+18*C*a^6-11*C*a^4*b^2+3*C*a^2*b^4)*a*b/(a^2+2*a*b+b^2)/(a^2-2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3-1/2*(30*
A*a^4*b^2-6*A*a^3*b^3-34*A*a^2*b^4+3*A*a*b^5+12*A*b^6+12*C*a^6-4*C*a^5*b-6*C*a^4*b^2+C*a^3*b^3+2*C*a^2*b^4)*a*
b/(a+b)/(a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-b*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2+a+b)^3+1/
2*(40*A*a^6*b^2-84*A*a^4*b^4+69*A*a^2*b^6-20*A*b^8+8*C*a^8-8*C*a^6*b^2+7*C*a^4*b^4-2*C*a^2*b^6)/(a^6-3*a^4*b^2
+3*a^2*b^4-b^6)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2)))+1/2*A/a^4/(tan(1/2*d
*x+1/2*c)-1)^2+1/2/a^6*(-A*a^2-20*A*b^2-2*C*a^2)*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)+1/2*A*(a+8*b)/a^5/(tan(1/2*d*x+1/2*c
)-1)-1/2*A/a^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)^2+1/2*(A*a^2+20*A*b^2+2*C*a^2)/a^6*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+1/2*A*(a+8*b
)/a^5/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1600 vs. \(2 (499) = 998\).

Time = 51.14 (sec) , antiderivative size = 3269, normalized size of antiderivative = 6.26 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^3/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/12*(3*((8*C*a^8*b^4 + 8*(5*A - C)*a^6*b^6 - 7*(12*A - C)*a^4*b^8 + (69*A - 2*C)*a^2*b^10 - 20*A*b^12)*cos(
d*x + c)^5 + 3*(8*C*a^9*b^3 + 8*(5*A - C)*a^7*b^5 - 7*(12*A - C)*a^5*b^7 + (69*A - 2*C)*a^3*b^9 - 20*A*a*b^11)
*cos(d*x + c)^4 + 3*(8*C*a^10*b^2 + 8*(5*A - C)*a^8*b^4 - 7*(12*A - C)*a^6*b^6 + (69*A - 2*C)*a^4*b^8 - 20*A*a
^2*b^10)*cos(d*x + c)^3 + (8*C*a^11*b + 8*(5*A - C)*a^9*b^3 - 7*(12*A - C)*a^7*b^5 + (69*A - 2*C)*a^5*b^7 - 20
*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c)^2)*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) + (2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 - 2*sqrt(-
a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) -
3*(((A + 2*C)*a^10*b^3 + 8*(2*A - C)*a^8*b^5 - 2*(37*A - 6*C)*a^6*b^7 + 4*(29*A - 2*C)*a^4*b^9 - (79*A - 2*C)
*a^2*b^11 + 20*A*b^13)*cos(d*x + c)^5 + 3*((A + 2*C)*a^11*b^2 + 8*(2*A - C)*a^9*b^4 - 2*(37*A - 6*C)*a^7*b^6 +
4*(29*A - 2*C)*a^5*b^8 - (79*A - 2*C)*a^3*b^10 + 20*A*a*b^12)*cos(d*x + c)^4 + 3*((A + 2*C)*a^12*b + 8*(2*A -
C)*a^10*b^3 - 2*(37*A - 6*C)*a^8*b^5 + 4*(29*A - 2*C)*a^6*b^7 - (79*A - 2*C)*a^4*b^9 + 20*A*a^2*b^11)*cos(d*x
+ c)^3 + ((A + 2*C)*a^13 + 8*(2*A - C)*a^11*b^2 - 2*(37*A - 6*C)*a^9*b^4 + 4*(29*A - 2*C)*a^7*b^6 - (79*A - 2
*C)*a^5*b^8 + 20*A*a^3*b^10)*cos(d*x + c)^2)*log(sin(d*x + c) + 1) + 3*(((A + 2*C)*a^10*b^3 + 8*(2*A - C)*a^8*
b^5 - 2*(37*A - 6*C)*a^6*b^7 + 4*(29*A - 2*C)*a^4*b^9 - (79*A - 2*C)*a^2*b^11 + 20*A*b^13)*cos(d*x + c)^5 + 3*
((A + 2*C)*a^11*b^2 + 8*(2*A - C)*a^9*b^4 - 2*(37*A - 6*C)*a^7*b^6 + 4*(29*A - 2*C)*a^5*b^8 - (79*A - 2*C)*a^3
*b^10 + 20*A*a*b^12)*cos(d*x + c)^4 + 3*((A + 2*C)*a^12*b + 8*(2*A - C)*a^10*b^3 - 2*(37*A - 6*C)*a^8*b^5 + 4*
(29*A - 2*C)*a^6*b^7 - (79*A - 2*C)*a^4*b^9 + 20*A*a^2*b^11)*cos(d*x + c)^3 + ((A + 2*C)*a^13 + 8*(2*A - C)*a^
11*b^2 - 2*(37*A - 6*C)*a^9*b^4 + 4*(29*A - 2*C)*a^7*b^6 - (79*A - 2*C)*a^5*b^8 + 20*A*a^3*b^10)*cos(d*x + c)^
2)*log(-sin(d*x + c) + 1) - 2*(3*A*a^13 - 12*A*a^11*b^2 + 18*A*a^9*b^4 - 12*A*a^7*b^6 + 3*A*a^5*b^8 - (2*(12*A
- 13*C)*a^9*b^4 - (170*A - 43*C)*a^7*b^6 + (313*A - 23*C)*a^5*b^8 - (227*A - 6*C)*a^3*b^10 + 60*A*a*b^12)*cos
(d*x + c)^4 - 3*((23*A - 20*C)*a^10*b^3 - (146*A - 35*C)*a^8*b^5 + (263*A - 20*C)*a^6*b^7 - 5*(38*A - C)*a^4*b
^9 + 50*A*a^2*b^11)*cos(d*x + c)^3 - (9*(7*A - 4*C)*a^11*b^2 - 2*(171*A - 34*C)*a^9*b^4 + (590*A - 43*C)*a^7*b
^6 - (421*A - 11*C)*a^5*b^8 + 110*A*a^3*b^10)*cos(d*x + c)^2 - 15*(A*a^12*b - 4*A*a^10*b^3 + 6*A*a^8*b^5 - 4*A
*a^6*b^7 + A*a^4*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^14*b^3 - 4*a^12*b^5 + 6*a^10*b^7 - 4*a^8*b^9 + a^6*b^11)
*d*cos(d*x + c)^5 + 3*(a^15*b^2 - 4*a^13*b^4 + 6*a^11*b^6 - 4*a^9*b^8 + a^7*b^10)*d*cos(d*x + c)^4 + 3*(a^16*b
- 4*a^14*b^3 + 6*a^12*b^5 - 4*a^10*b^7 + a^8*b^9)*d*cos(d*x + c)^3 + (a^17 - 4*a^15*b^2 + 6*a^13*b^4 - 4*a^11
*b^6 + a^9*b^8)*d*cos(d*x + c)^2), -1/12*(6*((8*C*a^8*b^4 + 8*(5*A - C)*a^6*b^6 - 7*(12*A - C)*a^4*b^8 + (69*A
- 2*C)*a^2*b^10 - 20*A*b^12)*cos(d*x + c)^5 + 3*(8*C*a^9*b^3 + 8*(5*A - C)*a^7*b^5 - 7*(12*A - C)*a^5*b^7 + (
69*A - 2*C)*a^3*b^9 - 20*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^4 + 3*(8*C*a^10*b^2 + 8*(5*A - C)*a^8*b^4 - 7*(12*A - C)*a^6*b
^6 + (69*A - 2*C)*a^4*b^8 - 20*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^3 + (8*C*a^11*b + 8*(5*A - C)*a^9*b^3 - 7*(12*A - C)*a
^7*b^5 + (69*A - 2*C)*a^5*b^7 - 20*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c)^2)*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sq
rt(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) - 3*(((A + 2*C)*a^10*b^3 + 8*(2*A - C)*a^8*b^5 - 2*(37*A - 6*C)*a^6*b^7 + 4*(29*A
- 2*C)*a^4*b^9 - (79*A - 2*C)*a^2*b^11 + 20*A*b^13)*cos(d*x + c)^5 + 3*((A + 2*C)*a^11*b^2 + 8*(2*A - C)*a^9*
b^4 - 2*(37*A - 6*C)*a^7*b^6 + 4*(29*A - 2*C)*a^5*b^8 - (79*A - 2*C)*a^3*b^10 + 20*A*a*b^12)*cos(d*x + c)^4 +
3*((A + 2*C)*a^12*b + 8*(2*A - C)*a^10*b^3 - 2*(37*A - 6*C)*a^8*b^5 + 4*(29*A - 2*C)*a^6*b^7 - (79*A - 2*C)*a^
4*b^9 + 20*A*a^2*b^11)*cos(d*x + c)^3 + ((A + 2*C)*a^13 + 8*(2*A - C)*a^11*b^2 - 2*(37*A - 6*C)*a^9*b^4 + 4*(2
9*A - 2*C)*a^7*b^6 - (79*A - 2*C)*a^5*b^8 + 20*A*a^3*b^10)*cos(d*x + c)^2)*log(sin(d*x + c) + 1) + 3*(((A + 2*
C)*a^10*b^3 + 8*(2*A - C)*a^8*b^5 - 2*(37*A - 6*C)*a^6*b^7 + 4*(29*A - 2*C)*a^4*b^9 - (79*A - 2*C)*a^2*b^11 +
20*A*b^13)*cos(d*x + c)^5 + 3*((A + 2*C)*a^11*b^2 + 8*(2*A - C)*a^9*b^4 - 2*(37*A - 6*C)*a^7*b^6 + 4*(29*A - 2
*C)*a^5*b^8 - (79*A - 2*C)*a^3*b^10 + 20*A*a*b^12)*cos(d*x + c)^4 + 3*((A + 2*C)*a^12*b + 8*(2*A - C)*a^10*b^3
- 2*(37*A - 6*C)*a^8*b^5 + 4*(29*A - 2*C)*a^6*b^7 - (79*A - 2*C)*a^4*b^9 + 20*A*a^2*b^11)*cos(d*x + c)^3 + ((
A + 2*C)*a^13 + 8*(2*A - C)*a^11*b^2 - 2*(37*A - 6*C)*a^9*b^4 + 4*(29*A - 2*C)*a^7*b^6 - (79*A - 2*C)*a^5*b^8
+ 20*A*a^3*b^10)*cos(d*x + c)^2)*log(-sin(d*x + c) + 1) - 2*(3*A*a^13 - 12*A*a^11*b^2 + 18*A*a^9*b^4 - 12*A*a^
7*b^6 + 3*A*a^5*b^8 - (2*(12*A - 13*C)*a^9*b^4 - (170*A - 43*C)*a^7*b^6 + (313*A - 23*C)*a^5*b^8 - (227*A - 6*
C)*a^3*b^10 + 60*A*a*b^12)*cos(d*x + c)^4 - 3*((23*A - 20*C)*a^10*b^3 - (146*A - 35*C)*a^8*b^5 + (263*A - 20*C
)*a^6*b^7 - 5*(38*A - C)*a^4*b^9 + 50*A*a^2*b^11)*cos(d*x + c)^3 - (9*(7*A - 4*C)*a^11*b^2 - 2*(171*A - 34*C)*
a^9*b^4 + (590*A - 43*C)*a^7*b^6 - (421*A - 11*C)*a^5*b^8 + 110*A*a^3*b^10)*cos(d*x + c)^2 - 15*(A*a^12*b - 4*
A*a^10*b^3 + 6*A*a^8*b^5 - 4*A*a^6*b^7 + A*a^4*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^14*b^3 - 4*a^12*b^5 + 6*a^
10*b^7 - 4*a^8*b^9 + a^6*b^11)*d*cos(d*x + c)^5 + 3*(a^15*b^2 - 4*a^13*b^4 + 6*a^11*b^6 - 4*a^9*b^8 + a^7*b^10
)*d*cos(d*x + c)^4 + 3*(a^16*b - 4*a^14*b^3 + 6*a^12*b^5 - 4*a^10*b^7 + a^8*b^9)*d*cos(d*x + c)^3 + (a^17 - 4*
a^15*b^2 + 6*a^13*b^4 - 4*a^11*b^6 + a^9*b^8)*d*cos(d*x + c)^2)]

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)**2)*sec(d*x+c)**3/(a+b*cos(d*x+c))**4,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^3/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1070 vs. \(2 (499) = 998\).

Time = 0.40 (sec) , antiderivative size = 1070, normalized size of antiderivative = 2.05 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^3/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

1/6*(6*(8*C*a^8*b + 40*A*a^6*b^3 - 8*C*a^6*b^3 - 84*A*a^4*b^5 + 7*C*a^4*b^5 + 69*A*a^2*b^7 - 2*C*a^2*b^7 - 20*
A*b^9)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1
/2*c))/sqrt(a^2 - b^2)))/((a^12 - 3*a^10*b^2 + 3*a^8*b^4 - a^6*b^6)*sqrt(a^2 - b^2)) + 2*(36*C*a^8*b^2*tan(1/2
*d*x + 1/2*c)^5 - 60*C*a^7*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 90*A*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*C*a^6*b^4*tan(
1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 162*A*a^5*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 45*C*a^5*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 48*A*a^4*b^6
*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*C*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 213*A*a^3*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 15*C*a^3
*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 48*A*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*C*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 81*A*
a*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 36*A*b^10*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 72*C*a^8*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 180*A*
a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 116*C*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 392*A*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 +
56*C*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 284*A*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 12*C*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c
)^3 - 72*A*b^10*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 36*C*a^8*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 60*C*a^7*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)
+ 90*A*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*C*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 162*A*a^5*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) -
45*C*a^5*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 48*A*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*C*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 21
3*A*a^3*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 15*C*a^3*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 48*A*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*C
*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 81*A*a*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 36*A*b^10*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^11 - 3*a
^9*b^2 + 3*a^7*b^4 - a^5*b^6)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^3) + 3*(A*a^2 + 2*
C*a^2 + 20*A*b^2)*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 1))/a^6 - 3*(A*a^2 + 2*C*a^2 + 20*A*b^2)*log(abs(tan(1/2*d*x
+ 1/2*c) - 1))/a^6 + 6*(A*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 8*A*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + A*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) -
8*A*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - 1)^2*a^5))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 19.79 (sec) , antiderivative size = 14213, normalized size of antiderivative = 27.23 \[ \int \frac {\left (A+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((A + C*cos(c + d*x)^2)/(cos(c + d*x)^3*(a + b*cos(c + d*x))^4),x)

[Out]

((tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^8 + 20*A*b^8 - 59*A*a^2*b^6 - 27*A*a^3*b^5 + 57*A*a^4*b^4 + 21*A*a^5*b^3 - 11*A*a^6*
b^2 + 2*C*a^2*b^6 + C*a^3*b^5 - 6*C*a^4*b^4 - 4*C*a^5*b^3 + 12*C*a^6*b^2 + 10*A*a*b^7 - 7*A*a^7*b))/(a^5*(a +
b)*(a - b)^3) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^9*(A*a^8 + 20*A*b^8 - 59*A*a^2*b^6 + 27*A*a^3*b^5 + 57*A*a^4*b^4 - 21*A*a^
5*b^3 - 11*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - C*a^3*b^5 - 6*C*a^4*b^4 + 4*C*a^5*b^3 + 12*C*a^6*b^2 - 10*A*a*b^7 + 7*A*a
^7*b))/(a^5*(a + b)^3*(a - b)) - (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(120*A*b^9 - 6*A*a^9 - 364*A*a^2*b^7 - 71*A*a^3*b^6 +
369*A*a^4*b^5 + 45*A*a^5*b^4 - 111*A*a^6*b^3 - 3*A*a^7*b^2 + 12*C*a^2*b^7 + 3*C*a^3*b^6 - 37*C*a^4*b^5 - 8*C*
a^5*b^4 + 60*C*a^6*b^3 + 30*A*a*b^8 + 21*A*a^8*b))/(3*a^5*(a + b)^2*(a - b)^3) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^7*(6*A*
a^9 + 120*A*b^9 - 364*A*a^2*b^7 + 71*A*a^3*b^6 + 369*A*a^4*b^5 - 45*A*a^5*b^4 - 111*A*a^6*b^3 + 3*A*a^7*b^2 +
12*C*a^2*b^7 - 3*C*a^3*b^6 - 37*C*a^4*b^5 + 8*C*a^5*b^4 + 60*C*a^6*b^3 - 30*A*a*b^8 + 21*A*a^8*b))/(3*a^5*(a +
b)^3*(a - b)^2) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(9*A*a^10 + 180*A*b^10 - 611*A*a^2*b^8 + 740*A*a^4*b^6 - 324*A*a^6*
b^4 + 36*A*a^8*b^2 + 18*C*a^2*b^8 - 62*C*a^4*b^6 + 110*C*a^6*b^4 - 36*C*a^8*b^2))/(3*a^5*(a + b)^3*(a - b)^3))
/(d*(tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(6*a*b^2 - 6*a^2*b - 2*a^3 + 10*b^3) - tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(9*a*b^2 + 3*a^2*b - a^3
+ 5*b^3) + tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(6*a*b^2 + 6*a^2*b - 2*a^3 - 10*b^3) + 3*a*b^2 + 3*a^2*b + a^3 + b^3 + tan(c/
2 + (d*x)/2)^10*(3*a*b^2 - 3*a^2*b + a^3 - b^3) + tan(c/2 + (d*x)/2)^8*(3*a^2*b - 9*a*b^2 + a^3 + 5*b^3))) + (
atan((((10*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*(((10*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*((4*(4*A*a^27 + 8*C*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*
A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13 - 248*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A
*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 + 724*A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^
2 - 8*C*a^14*b^13 + 4*C*a^15*b^12 + 52*C*a^16*b^11 - 28*C*a^17*b^10 - 140*C*a^18*b^9 + 60*C*a^19*b^8 + 220*C*a
^20*b^7 - 60*C*a^21*b^6 - 220*C*a^22*b^5 + 40*C*a^23*b^4 + 128*C*a^24*b^3 - 24*C*a^25*b^2 - 32*C*a^26*b))/(a^2
5*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^
22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(10*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 +
8*a^13*b^13 + 48*a^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*
a^20*b^6 + 120*a^21*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/(a^6*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10
+ 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2))
))/a^6 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^18 + 800*A^2*b^18 + 4*C^2*a^18 - 800*A^2*a*b^17 - 2*A^2*a^17*b - 8*C^2*a
^17*b - 4720*A^2*a^2*b^16 + 4720*A^2*a^3*b^15 + 11522*A^2*a^4*b^14 - 11522*A^2*a^5*b^13 - 14837*A^2*a^6*b^12 +
14812*A^2*a^7*b^11 + 10385*A^2*a^8*b^10 - 10430*A^2*a^9*b^9 - 3325*A^2*a^10*b^8 + 3640*A^2*a^11*b^7 - 45*A^2*
a^12*b^6 - 350*A^2*a^13*b^5 + 209*A^2*a^14*b^4 - 68*A^2*a^15*b^3 + 35*A^2*a^16*b^2 + 8*C^2*a^4*b^14 - 8*C^2*a^
5*b^13 - 48*C^2*a^6*b^12 + 48*C^2*a^7*b^11 + 117*C^2*a^8*b^10 - 120*C^2*a^9*b^9 - 164*C^2*a^10*b^8 + 160*C^2*a
^11*b^7 + 156*C^2*a^12*b^6 - 120*C^2*a^13*b^5 - 92*C^2*a^14*b^4 + 48*C^2*a^15*b^3 + 44*C^2*a^16*b^2 + 4*A*C*a^
18 - 8*A*C*a^17*b + 160*A*C*a^2*b^16 - 160*A*C*a^3*b^15 - 952*A*C*a^4*b^14 + 952*A*C*a^5*b^13 + 2322*A*C*a^6*b
^12 - 2352*A*C*a^7*b^11 - 3124*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 + 2588*A*C*a^10*b^8 - 2240*A*C*a^11*b^7 - 1284*
A*C*a^12*b^6 + 840*A*C*a^13*b^5 + 276*A*C*a^14*b^4 - 112*A*C*a^15*b^3 + 60*A*C*a^16*b^2))/(a^20*b + a^21 - a^1
0*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*
b^3 - 5*a^19*b^2))*1i)/a^6 - ((10*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*(((10*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*((4*(4*A*a^27 + 8*C*a^27
- 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13 - 248*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 +
2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 + 724*A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*
a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 - 8*C*a^14*b^13 + 4*C*a^15*b^12 + 52*C*a^16*b^11 - 28*C*a^17*b^10 - 140*C*a^18*b^9 +
60*C*a^19*b^8 + 220*C*a^20*b^7 - 60*C*a^21*b^6 - 220*C*a^22*b^5 + 40*C*a^23*b^4 + 128*C*a^24*b^3 - 24*C*a^25*b
^2 - 32*C*a^26*b))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^
6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(10*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*(8
*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48*a^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^
8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^21*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/(a^6*(a^20*b + a^21
- a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*
a^18*b^3 - 5*a^19*b^2))))/a^6 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^18 + 800*A^2*b^18 + 4*C^2*a^18 - 800*A^2*a*b^17 -
2*A^2*a^17*b - 8*C^2*a^17*b - 4720*A^2*a^2*b^16 + 4720*A^2*a^3*b^15 + 11522*A^2*a^4*b^14 - 11522*A^2*a^5*b^13
- 14837*A^2*a^6*b^12 + 14812*A^2*a^7*b^11 + 10385*A^2*a^8*b^10 - 10430*A^2*a^9*b^9 - 3325*A^2*a^10*b^8 + 3640
*A^2*a^11*b^7 - 45*A^2*a^12*b^6 - 350*A^2*a^13*b^5 + 209*A^2*a^14*b^4 - 68*A^2*a^15*b^3 + 35*A^2*a^16*b^2 + 8*
C^2*a^4*b^14 - 8*C^2*a^5*b^13 - 48*C^2*a^6*b^12 + 48*C^2*a^7*b^11 + 117*C^2*a^8*b^10 - 120*C^2*a^9*b^9 - 164*C
^2*a^10*b^8 + 160*C^2*a^11*b^7 + 156*C^2*a^12*b^6 - 120*C^2*a^13*b^5 - 92*C^2*a^14*b^4 + 48*C^2*a^15*b^3 + 44*
C^2*a^16*b^2 + 4*A*C*a^18 - 8*A*C*a^17*b + 160*A*C*a^2*b^16 - 160*A*C*a^3*b^15 - 952*A*C*a^4*b^14 + 952*A*C*a^
5*b^13 + 2322*A*C*a^6*b^12 - 2352*A*C*a^7*b^11 - 3124*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 + 2588*A*C*a^10*b^8 - 22
40*A*C*a^11*b^7 - 1284*A*C*a^12*b^6 + 840*A*C*a^13*b^5 + 276*A*C*a^14*b^4 - 112*A*C*a^15*b^3 + 60*A*C*a^16*b^2
))/(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5
+ 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2))*1i)/a^6)/((8*(8000*A^3*b^19 - 4000*A^3*a*b^18 + 32*C^3*a^18*b - 5080
0*A^3*a^2*b^17 + 24400*A^3*a^3*b^16 + 135260*A^3*a^4*b^15 - 62030*A^3*a^5*b^14 - 193689*A^3*a^6*b^13 + 82337*A
^3*a^7*b^12 + 155991*A^3*a^8*b^11 - 57345*A^3*a^9*b^10 - 64479*A^3*a^10*b^9 + 16999*A^3*a^11*b^8 + 8281*A^3*a^
12*b^7 + 204*A^3*a^13*b^6 + 1396*A^3*a^14*b^5 - 40*A^3*a^15*b^4 + 40*A^3*a^16*b^3 + 8*C^3*a^6*b^13 - 4*C^3*a^7
*b^12 - 52*C^3*a^8*b^11 + 22*C^3*a^9*b^10 + 140*C^3*a^10*b^9 - 68*C^3*a^11*b^8 - 220*C^3*a^12*b^7 + 132*C^3*a^
13*b^6 + 220*C^3*a^14*b^5 - 128*C^3*a^15*b^4 - 128*C^3*a^16*b^3 + 96*C^3*a^17*b^2 + 32*A*C^2*a^18*b + 8*A^2*C*
a^18*b + 240*A*C^2*a^4*b^15 - 120*A*C^2*a^5*b^14 - 1548*A*C^2*a^6*b^13 + 684*A*C^2*a^7*b^12 + 4152*A*C^2*a^8*b
^11 - 1983*A*C^2*a^9*b^10 - 6336*A*C^2*a^10*b^9 + 3448*A*C^2*a^11*b^8 + 5944*A*C^2*a^12*b^7 - 3196*A*C^2*a^13*
b^6 - 3156*A*C^2*a^14*b^5 + 1760*A*C^2*a^15*b^4 + 672*A*C^2*a^16*b^3 + 32*A*C^2*a^17*b^2 + 2400*A^2*C*a^2*b^17
- 1200*A^2*C*a^3*b^16 - 15360*A^2*C*a^4*b^15 + 7080*A^2*C*a^5*b^14 + 41046*A^2*C*a^6*b^13 - 19233*A^2*C*a^7*b
^12 - 60729*A^2*C*a^8*b^11 + 29513*A^2*C*a^9*b^10 + 53039*A^2*C*a^10*b^9 - 24901*A^2*C*a^11*b^8 - 25211*A^2*C*
a^12*b^7 + 9657*A^2*C*a^13*b^6 + 4359*A^2*C*a^14*b^5 + 192*A^2*C*a^15*b^4 + 448*A^2*C*a^16*b^3 - 8*A^2*C*a^17*
b^2))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b
^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2) + ((10*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*(((10*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*((4*(4*
A*a^27 + 8*C*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13 - 248*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 6
40*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 + 724*A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*
a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 - 8*C*a^14*b^13 + 4*C*a^15*b^12 + 52*C*a^16*b^11 - 28*C*a^17*b^10 -
140*C*a^18*b^9 + 60*C*a^19*b^8 + 220*C*a^20*b^7 - 60*C*a^21*b^6 - 220*C*a^22*b^5 + 40*C*a^23*b^4 + 128*C*a^24*
b^3 - 24*C*a^25*b^2 - 32*C*a^26*b))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19
*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(10*A*b^2 +
a^2*(A/2 + C))*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48*a^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*
b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^21*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/(a^
6*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 +
10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2))))/a^6 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^18 + 800*A^2*b^18 + 4*C^2*a^18 -
800*A^2*a*b^17 - 2*A^2*a^17*b - 8*C^2*a^17*b - 4720*A^2*a^2*b^16 + 4720*A^2*a^3*b^15 + 11522*A^2*a^4*b^14 - 1
1522*A^2*a^5*b^13 - 14837*A^2*a^6*b^12 + 14812*A^2*a^7*b^11 + 10385*A^2*a^8*b^10 - 10430*A^2*a^9*b^9 - 3325*A^
2*a^10*b^8 + 3640*A^2*a^11*b^7 - 45*A^2*a^12*b^6 - 350*A^2*a^13*b^5 + 209*A^2*a^14*b^4 - 68*A^2*a^15*b^3 + 35*
A^2*a^16*b^2 + 8*C^2*a^4*b^14 - 8*C^2*a^5*b^13 - 48*C^2*a^6*b^12 + 48*C^2*a^7*b^11 + 117*C^2*a^8*b^10 - 120*C^
2*a^9*b^9 - 164*C^2*a^10*b^8 + 160*C^2*a^11*b^7 + 156*C^2*a^12*b^6 - 120*C^2*a^13*b^5 - 92*C^2*a^14*b^4 + 48*C
^2*a^15*b^3 + 44*C^2*a^16*b^2 + 4*A*C*a^18 - 8*A*C*a^17*b + 160*A*C*a^2*b^16 - 160*A*C*a^3*b^15 - 952*A*C*a^4*
b^14 + 952*A*C*a^5*b^13 + 2322*A*C*a^6*b^12 - 2352*A*C*a^7*b^11 - 3124*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 + 2588*
A*C*a^10*b^8 - 2240*A*C*a^11*b^7 - 1284*A*C*a^12*b^6 + 840*A*C*a^13*b^5 + 276*A*C*a^14*b^4 - 112*A*C*a^15*b^3
+ 60*A*C*a^16*b^2))/(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b
^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))/a^6 + ((10*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*(((10*A*b^2 + a^
2*(A/2 + C))*((4*(4*A*a^27 + 8*C*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13 - 248*A*a^15*b^12 -
1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 + 724*A*a^21*b^6 + 816
*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 - 8*C*a^14*b^13 + 4*C*a^15*b^12 + 52*C*a^16*b^11
- 28*C*a^17*b^10 - 140*C*a^18*b^9 + 60*C*a^19*b^8 + 220*C*a^20*b^7 - 60*C*a^21*b^6 - 220*C*a^22*b^5 + 40*C*a^
23*b^4 + 128*C*a^24*b^3 - 24*C*a^25*b^2 - 32*C*a^26*b))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 +
5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2) + (8*tan(c/2 + (
d*x)/2)*(10*A*b^2 + a^2*(A/2 + C))*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48*a^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a
^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^21*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^
3 - 8*a^24*b^2))/(a^6*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15
*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2))))/a^6 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^18 + 800*A^2
*b^18 + 4*C^2*a^18 - 800*A^2*a*b^17 - 2*A^2*a^17*b - 8*C^2*a^17*b - 4720*A^2*a^2*b^16 + 4720*A^2*a^3*b^15 + 11
522*A^2*a^4*b^14 - 11522*A^2*a^5*b^13 - 14837*A^2*a^6*b^12 + 14812*A^2*a^7*b^11 + 10385*A^2*a^8*b^10 - 10430*A
^2*a^9*b^9 - 3325*A^2*a^10*b^8 + 3640*A^2*a^11*b^7 - 45*A^2*a^12*b^6 - 350*A^2*a^13*b^5 + 209*A^2*a^14*b^4 - 6
8*A^2*a^15*b^3 + 35*A^2*a^16*b^2 + 8*C^2*a^4*b^14 - 8*C^2*a^5*b^13 - 48*C^2*a^6*b^12 + 48*C^2*a^7*b^11 + 117*C
^2*a^8*b^10 - 120*C^2*a^9*b^9 - 164*C^2*a^10*b^8 + 160*C^2*a^11*b^7 + 156*C^2*a^12*b^6 - 120*C^2*a^13*b^5 - 92
*C^2*a^14*b^4 + 48*C^2*a^15*b^3 + 44*C^2*a^16*b^2 + 4*A*C*a^18 - 8*A*C*a^17*b + 160*A*C*a^2*b^16 - 160*A*C*a^3
*b^15 - 952*A*C*a^4*b^14 + 952*A*C*a^5*b^13 + 2322*A*C*a^6*b^12 - 2352*A*C*a^7*b^11 - 3124*A*C*a^8*b^10 + 3080
*A*C*a^9*b^9 + 2588*A*C*a^10*b^8 - 2240*A*C*a^11*b^7 - 1284*A*C*a^12*b^6 + 840*A*C*a^13*b^5 + 276*A*C*a^14*b^4
- 112*A*C*a^15*b^3 + 60*A*C*a^16*b^2))/(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*
a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))/a^6))*(10*A*b^2 + a^2*(A/2 + C
))*2i)/(a^6*d) - (b*atan(((b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^18 + 800*A^2*b^18 + 4*C^2*a^18 - 800*A^2*a*b^17 - 2
*A^2*a^17*b - 8*C^2*a^17*b - 4720*A^2*a^2*b^16 + 4720*A^2*a^3*b^15 + 11522*A^2*a^4*b^14 - 11522*A^2*a^5*b^13 -
14837*A^2*a^6*b^12 + 14812*A^2*a^7*b^11 + 10385*A^2*a^8*b^10 - 10430*A^2*a^9*b^9 - 3325*A^2*a^10*b^8 + 3640*A
^2*a^11*b^7 - 45*A^2*a^12*b^6 - 350*A^2*a^13*b^5 + 209*A^2*a^14*b^4 - 68*A^2*a^15*b^3 + 35*A^2*a^16*b^2 + 8*C^
2*a^4*b^14 - 8*C^2*a^5*b^13 - 48*C^2*a^6*b^12 + 48*C^2*a^7*b^11 + 117*C^2*a^8*b^10 - 120*C^2*a^9*b^9 - 164*C^2
*a^10*b^8 + 160*C^2*a^11*b^7 + 156*C^2*a^12*b^6 - 120*C^2*a^13*b^5 - 92*C^2*a^14*b^4 + 48*C^2*a^15*b^3 + 44*C^
2*a^16*b^2 + 4*A*C*a^18 - 8*A*C*a^17*b + 160*A*C*a^2*b^16 - 160*A*C*a^3*b^15 - 952*A*C*a^4*b^14 + 952*A*C*a^5*
b^13 + 2322*A*C*a^6*b^12 - 2352*A*C*a^7*b^11 - 3124*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 + 2588*A*C*a^10*b^8 - 2240
*A*C*a^11*b^7 - 1284*A*C*a^12*b^6 + 840*A*C*a^13*b^5 + 276*A*C*a^14*b^4 - 112*A*C*a^15*b^3 + 60*A*C*a^16*b^2))
/(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 +
10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2) - (b*((4*(4*A*a^27 + 8*C*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A
*a^14*b^13 - 248*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*
a^20*b^7 + 724*A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 - 8*C*a^14*b^13 +
4*C*a^15*b^12 + 52*C*a^16*b^11 - 28*C*a^17*b^10 - 140*C*a^18*b^9 + 60*C*a^19*b^8 + 220*C*a^20*b^7 - 60*C*a^21
*b^6 - 220*C*a^22*b^5 + 40*C*a^23*b^4 + 128*C*a^24*b^3 - 24*C*a^25*b^2 - 32*C*a^26*b))/(a^25*b + a^26 - a^15*b
^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3
- 5*a^24*b^2) - (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^8 - 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*
A*a^4*b^4 - 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*a^4*b^4 + 8*C*a^6*b^2)*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48
*a^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^
21*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/((a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8
- 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 1
0*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)
*(20*A*b^8 - 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*a^4*b^4 - 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*a^4*b^4 + 8*C*a^6*b^2))/
(2*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)))*(-(a
+ b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^8 - 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*a^4*b^4 - 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*
a^4*b^4 + 8*C*a^6*b^2)*1i)/(2*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^
16*b^4 - 7*a^18*b^2)) + (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^18 + 800*A^2*b^18 + 4*C^2*a^18 - 800*A^2*a*b^17 - 2*A
^2*a^17*b - 8*C^2*a^17*b - 4720*A^2*a^2*b^16 + 4720*A^2*a^3*b^15 + 11522*A^2*a^4*b^14 - 11522*A^2*a^5*b^13 - 1
4837*A^2*a^6*b^12 + 14812*A^2*a^7*b^11 + 10385*A^2*a^8*b^10 - 10430*A^2*a^9*b^9 - 3325*A^2*a^10*b^8 + 3640*A^2
*a^11*b^7 - 45*A^2*a^12*b^6 - 350*A^2*a^13*b^5 + 209*A^2*a^14*b^4 - 68*A^2*a^15*b^3 + 35*A^2*a^16*b^2 + 8*C^2*
a^4*b^14 - 8*C^2*a^5*b^13 - 48*C^2*a^6*b^12 + 48*C^2*a^7*b^11 + 117*C^2*a^8*b^10 - 120*C^2*a^9*b^9 - 164*C^2*a
^10*b^8 + 160*C^2*a^11*b^7 + 156*C^2*a^12*b^6 - 120*C^2*a^13*b^5 - 92*C^2*a^14*b^4 + 48*C^2*a^15*b^3 + 44*C^2*
a^16*b^2 + 4*A*C*a^18 - 8*A*C*a^17*b + 160*A*C*a^2*b^16 - 160*A*C*a^3*b^15 - 952*A*C*a^4*b^14 + 952*A*C*a^5*b^
13 + 2322*A*C*a^6*b^12 - 2352*A*C*a^7*b^11 - 3124*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 + 2588*A*C*a^10*b^8 - 2240*A
*C*a^11*b^7 - 1284*A*C*a^12*b^6 + 840*A*C*a^13*b^5 + 276*A*C*a^14*b^4 - 112*A*C*a^15*b^3 + 60*A*C*a^16*b^2))/(
a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10
*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2) + (b*((4*(4*A*a^27 + 8*C*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a
^14*b^13 - 248*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^
20*b^7 + 724*A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 - 8*C*a^14*b^13 + 4
*C*a^15*b^12 + 52*C*a^16*b^11 - 28*C*a^17*b^10 - 140*C*a^18*b^9 + 60*C*a^19*b^8 + 220*C*a^20*b^7 - 60*C*a^21*b
^6 - 220*C*a^22*b^5 + 40*C*a^23*b^4 + 128*C*a^24*b^3 - 24*C*a^25*b^2 - 32*C*a^26*b))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^1
1 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 -
5*a^24*b^2) + (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^8 - 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*
a^4*b^4 - 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*a^4*b^4 + 8*C*a^6*b^2)*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48*a
^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^21
*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/((a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 -
35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*
a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(
20*A*b^8 - 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*a^4*b^4 - 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*a^4*b^4 + 8*C*a^6*b^2))/(2
*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)))*(-(a +
b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^8 - 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*a^4*b^4 - 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*a^
4*b^4 + 8*C*a^6*b^2)*1i)/(2*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16
*b^4 - 7*a^18*b^2)))/((8*(8000*A^3*b^19 - 4000*A^3*a*b^18 + 32*C^3*a^18*b - 50800*A^3*a^2*b^17 + 24400*A^3*a^3
*b^16 + 135260*A^3*a^4*b^15 - 62030*A^3*a^5*b^14 - 193689*A^3*a^6*b^13 + 82337*A^3*a^7*b^12 + 155991*A^3*a^8*b
^11 - 57345*A^3*a^9*b^10 - 64479*A^3*a^10*b^9 + 16999*A^3*a^11*b^8 + 8281*A^3*a^12*b^7 + 204*A^3*a^13*b^6 + 13
96*A^3*a^14*b^5 - 40*A^3*a^15*b^4 + 40*A^3*a^16*b^3 + 8*C^3*a^6*b^13 - 4*C^3*a^7*b^12 - 52*C^3*a^8*b^11 + 22*C
^3*a^9*b^10 + 140*C^3*a^10*b^9 - 68*C^3*a^11*b^8 - 220*C^3*a^12*b^7 + 132*C^3*a^13*b^6 + 220*C^3*a^14*b^5 - 12
8*C^3*a^15*b^4 - 128*C^3*a^16*b^3 + 96*C^3*a^17*b^2 + 32*A*C^2*a^18*b + 8*A^2*C*a^18*b + 240*A*C^2*a^4*b^15 -
120*A*C^2*a^5*b^14 - 1548*A*C^2*a^6*b^13 + 684*A*C^2*a^7*b^12 + 4152*A*C^2*a^8*b^11 - 1983*A*C^2*a^9*b^10 - 63
36*A*C^2*a^10*b^9 + 3448*A*C^2*a^11*b^8 + 5944*A*C^2*a^12*b^7 - 3196*A*C^2*a^13*b^6 - 3156*A*C^2*a^14*b^5 + 17
60*A*C^2*a^15*b^4 + 672*A*C^2*a^16*b^3 + 32*A*C^2*a^17*b^2 + 2400*A^2*C*a^2*b^17 - 1200*A^2*C*a^3*b^16 - 15360
*A^2*C*a^4*b^15 + 7080*A^2*C*a^5*b^14 + 41046*A^2*C*a^6*b^13 - 19233*A^2*C*a^7*b^12 - 60729*A^2*C*a^8*b^11 + 2
9513*A^2*C*a^9*b^10 + 53039*A^2*C*a^10*b^9 - 24901*A^2*C*a^11*b^8 - 25211*A^2*C*a^12*b^7 + 9657*A^2*C*a^13*b^6
+ 4359*A^2*C*a^14*b^5 + 192*A^2*C*a^15*b^4 + 448*A^2*C*a^16*b^3 - 8*A^2*C*a^17*b^2))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^
11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3
- 5*a^24*b^2) - (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^18 + 800*A^2*b^18 + 4*C^2*a^18 - 800*A^2*a*b^17 - 2*A^2*a^17*
b - 8*C^2*a^17*b - 4720*A^2*a^2*b^16 + 4720*A^2*a^3*b^15 + 11522*A^2*a^4*b^14 - 11522*A^2*a^5*b^13 - 14837*A^2
*a^6*b^12 + 14812*A^2*a^7*b^11 + 10385*A^2*a^8*b^10 - 10430*A^2*a^9*b^9 - 3325*A^2*a^10*b^8 + 3640*A^2*a^11*b^
7 - 45*A^2*a^12*b^6 - 350*A^2*a^13*b^5 + 209*A^2*a^14*b^4 - 68*A^2*a^15*b^3 + 35*A^2*a^16*b^2 + 8*C^2*a^4*b^14
- 8*C^2*a^5*b^13 - 48*C^2*a^6*b^12 + 48*C^2*a^7*b^11 + 117*C^2*a^8*b^10 - 120*C^2*a^9*b^9 - 164*C^2*a^10*b^8
+ 160*C^2*a^11*b^7 + 156*C^2*a^12*b^6 - 120*C^2*a^13*b^5 - 92*C^2*a^14*b^4 + 48*C^2*a^15*b^3 + 44*C^2*a^16*b^2
+ 4*A*C*a^18 - 8*A*C*a^17*b + 160*A*C*a^2*b^16 - 160*A*C*a^3*b^15 - 952*A*C*a^4*b^14 + 952*A*C*a^5*b^13 + 232
2*A*C*a^6*b^12 - 2352*A*C*a^7*b^11 - 3124*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 + 2588*A*C*a^10*b^8 - 2240*A*C*a^11*
b^7 - 1284*A*C*a^12*b^6 + 840*A*C*a^13*b^5 + 276*A*C*a^14*b^4 - 112*A*C*a^15*b^3 + 60*A*C*a^16*b^2))/(a^20*b +
a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^
4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2) - (b*((4*(4*A*a^27 + 8*C*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13
- 248*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 +
724*A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 - 8*C*a^14*b^13 + 4*C*a^15*
b^12 + 52*C*a^16*b^11 - 28*C*a^17*b^10 - 140*C*a^18*b^9 + 60*C*a^19*b^8 + 220*C*a^20*b^7 - 60*C*a^21*b^6 - 220
*C*a^22*b^5 + 40*C*a^23*b^4 + 128*C*a^24*b^3 - 24*C*a^25*b^2 - 32*C*a^26*b))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16
*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*
b^2) - (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^8 - 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*a^4*b^4
- 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*a^4*b^4 + 8*C*a^6*b^2)*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48*a^14*b^12
- 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^21*b^5 + 4
8*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/((a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*
b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7
- 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^8
- 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*a^4*b^4 - 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*a^4*b^4 + 8*C*a^6*b^2))/(2*(a^20 -
a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)))*(-(a + b)^7*(a
- b)^7)^(1/2)*(20*A*b^8 - 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*a^4*b^4 - 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*a^4*b^4 +
8*C*a^6*b^2))/(2*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^
18*b^2)) + (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^18 + 800*A^2*b^18 + 4*C^2*a^18 - 800*A^2*a*b^17 - 2*A^2*a^17*b - 8
*C^2*a^17*b - 4720*A^2*a^2*b^16 + 4720*A^2*a^3*b^15 + 11522*A^2*a^4*b^14 - 11522*A^2*a^5*b^13 - 14837*A^2*a^6*
b^12 + 14812*A^2*a^7*b^11 + 10385*A^2*a^8*b^10 - 10430*A^2*a^9*b^9 - 3325*A^2*a^10*b^8 + 3640*A^2*a^11*b^7 - 4
5*A^2*a^12*b^6 - 350*A^2*a^13*b^5 + 209*A^2*a^14*b^4 - 68*A^2*a^15*b^3 + 35*A^2*a^16*b^2 + 8*C^2*a^4*b^14 - 8*
C^2*a^5*b^13 - 48*C^2*a^6*b^12 + 48*C^2*a^7*b^11 + 117*C^2*a^8*b^10 - 120*C^2*a^9*b^9 - 164*C^2*a^10*b^8 + 160
*C^2*a^11*b^7 + 156*C^2*a^12*b^6 - 120*C^2*a^13*b^5 - 92*C^2*a^14*b^4 + 48*C^2*a^15*b^3 + 44*C^2*a^16*b^2 + 4*
A*C*a^18 - 8*A*C*a^17*b + 160*A*C*a^2*b^16 - 160*A*C*a^3*b^15 - 952*A*C*a^4*b^14 + 952*A*C*a^5*b^13 + 2322*A*C
*a^6*b^12 - 2352*A*C*a^7*b^11 - 3124*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 + 2588*A*C*a^10*b^8 - 2240*A*C*a^11*b^7 -
1284*A*C*a^12*b^6 + 840*A*C*a^13*b^5 + 276*A*C*a^14*b^4 - 112*A*C*a^15*b^3 + 60*A*C*a^16*b^2))/(a^20*b + a^21
- a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5
*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2) + (b*((4*(4*A*a^27 + 8*C*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13 - 24
8*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 + 724*
A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 - 8*C*a^14*b^13 + 4*C*a^15*b^12
+ 52*C*a^16*b^11 - 28*C*a^17*b^10 - 140*C*a^18*b^9 + 60*C*a^19*b^8 + 220*C*a^20*b^7 - 60*C*a^21*b^6 - 220*C*a^
22*b^5 + 40*C*a^23*b^4 + 128*C*a^24*b^3 - 24*C*a^25*b^2 - 32*C*a^26*b))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*b^10
+ 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2)
+ (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^8 - 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*a^4*b^4 - 40*
A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*a^4*b^4 + 8*C*a^6*b^2)*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48*a^14*b^12 - 48
*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^21*b^5 + 48*a^2
2*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/((a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 +
21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10
*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^8 - 8*
C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*a^4*b^4 - 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*a^4*b^4 + 8*C*a^6*b^2))/(2*(a^20 - a^6*
b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)
^7)^(1/2)*(20*A*b^8 - 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*a^4*b^4 - 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*b^6 - 7*C*a^4*b^4 + 8*C*a
^6*b^2))/(2*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^
2))))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^8 - 8*C*a^8 - 69*A*a^2*b^6 + 84*A*a^4*b^4 - 40*A*a^6*b^2 + 2*C*a^2*
b^6 - 7*C*a^4*b^4 + 8*C*a^6*b^2)*1i)/(d*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b
^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2))